题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:[  [1,3,1],  [1,5,1],  [4,2,1]]输出: 7解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

解释

此题运用的是动态规划， 而且和很多题目非常相似，题目要求每次只能向下走一步或者向右走一步。这就规定走到这一个点的路径只有两点，就是上面的点和左边的点。所以每一点的最小cost可以表示为

min(到达上面的点的最小cost， 到达左边的点的最小cost) + 当前点的 cost

这样就把问题分成子问题，创建一个二维数组cost用来保存到达每一点的最小cost。

递归式可以表示为

cost[i][j] = min(cost[i][j - 1] + grid[i][j], cost[i - 1][j] + grid[i][j]);

然后利用一个二层循环，把到达每一个点的最小值求出来。返回返回右下角的值即可。

代码

int minPathSum(vector
    
     
      >& grid) {        vector
      
       
        > cost = grid;        int n = grid.size(), m = grid[0].size();        for (int i = 0; i < n; i++) {            for (int j = 0; j < m; j++) {	            //处理第一行和第一列的情况，如果不处理的话，数组会越界                if (i == 0) {	                //一直向右走                    cost[i][j] = cost[i][j - 1] + grid[i][j];                } else if (j == 0) {	                //一直向下走                    cost[i][j] = cost[i - 1][j] + grid[i][j];                } else {	                //利用递推式求结果                    cost[i][j] = min(cost[i][j - 1] + grid[i][j], cost[i - 1][j] + grid[i][j]);                }            }        }        //返回右下角值        return cost[n-1][m-1];    }
       
      
     
    

总结

• 关键的一点就是找出递推式。看当前最优解能否被前面的值推出
• 存储原来的数据一般可以用一个二维数组。但是有一些题目对空间有限制。比如LeetCode 413， 这样的话就要尽量去优化，看能不能用一维数组来代替。

类似题目

LeetCode 877